傳說以前大科學家費米在原子彈試爆,氣流吹到的時候,隨手抓了把紙往天空一扔,又追著紙向前帥帥的跑了幾步,就估計出原子彈的爆炸能量。《為這個美好世界獻上祝福》這個動畫中,有個中二病[2]的大魔法師惠惠,很會(也只會)放爆裂魔法。這個爆裂魔法的能量有多大?跟原子彈比起來又是哪個威力強呢?

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圖一 惠惠:只要出問題,C4炸藥爆裂魔法都能搞定。[3](來源:https://forum.gamer.com.tw/C.php?bsn=46218&snA=748)

惠惠的爆裂魔法,說穿了也就只是個爆炸。不過從動畫中看來,惠惠在施放的時候有能量輸出大小的不同,而最大威力的那次,發生在第一季動畫的結尾,她為了阻止機動要塞的自爆而放出的爆裂魔法(是的,你沒有看錯)。接下來我們先猜猜看費米所用的估算方法。費米在氣流來襲的時候,追著被吹走的紙片跑,可以推知風速,而這個風的動能是因為核爆產生的,因此可以概算出核爆能量。

但在動畫裡,沒有費米帥帥的一扔,那該怎麼辦?幸好我們看到爆炸時白色的衝擊震波跑了一段距離後就消失(如圖二),而這可能是超音速的衝擊波[4],因此我們可以假定在衝擊波看不見的邊界上,氣流的速度就正好是音速340 m/s。然後我們要估計這個範圍有多大。圖中爆炸的衝擊波範圍的直徑,與阿克賽爾新手村裡的河流寬度比約為75:1,而這條河流的寬度約為30 m[5]。

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圖二 紅色半球估計為超音速衝擊波的最後範圍,白色線段為河流的寬度。

因此衝擊波半球[6]的半徑大約是1,100公尺。以空氣密度1.3 kg/m3來說,半球內的空氣質量是3.6 X 109 kg,而這半球內的空氣都至少應該有340 m/s的向外速率,不然衝擊波早已中斷了。所以這半球的空氣,向外的動能為:

E=1/2mv2= 1/2 ×(3.6×109 kg)×(340 m/s)2=2.1×1014 焦耳

如果假設爆炸所生的熱能都轉換成這些動能[7],那麼爆炸大概是五萬噸TNT當量[8],比費米參加的「三位一體」核試驗還多了2.5倍的威力!難怪惠惠每次放完爆裂魔法就直接倒地躺平了。

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圖三 惠惠的爆裂魔法與各種著名爆炸作比較。

話說關於核試驗的能量估計這件事,其實是有學術論文討論的。1950年,G. Taylor發表的論文便提到離爆炸很短的時間內[9]:

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其中R為爆炸火球半徑,t為爆炸後經過的時間,ρ為空氣密度,S是一個很接近1的參數,而E就是所求的爆炸能量。這個式子其實在核試爆前就已完成,只是因為怕被FBI查水表[10]所以一直沒公布。其想法大概是這樣:E必定是能量的因次,也就是ML2T-2(質量*長度2*時間-2),核試爆的時候,可以想見比較容易測得到的物理量,是爆炸後經過的時間T和從照片中得到的火球半徑長度L。但這樣還缺少了具有質量M的物理量,這質量一定和氣體有關係,因為火球就是由加熱氣體而來。所以這裡就取用氣體的密度,因次為ML-3。再次試著湊出能量的因次,就得到R5ρt-2~E。

我們把下面這個式子,

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整個式子取對數,會得到:

logR=2/5log⁡t+1/5log E-1/5logρ+logS

所以將log R對log t作圖,得到直線的截距就是1/5log E-1/5logρ+logS,再帶入log ρ 與log S,便可以求出E了。

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圖四 爆炸範圍隨時間的變化。兩兩並排的圖為同一時刻下的火球,其中左邊為原圖,而右邊有畫圓估算範圍。圖上的數字為估算出的時間與火球半徑。

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圖五 爆炸半徑對時間的關係圖。藍色圓圈是從圖四得到的數據,紅線為近似直線。

將動畫中爆炸半徑的變化對時間作圖,再求得近似直線,可得直線的截距為2.76,帶入1/5log ρ=0.029與log S=0.015,可以算出log E=13.87,所以E=1013.87=7.4×1013焦耳,這與前面的估算只差2/3!所以說雖然本作的人物故意畫的有點崩壞,但在爆裂魔法的場景倒是處理得好認真啊XD

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可以,這hen惠。(圖片來源:https://i.imgur.com/tPd4RDD.jpg)

註釋

[1]也有ptt鄉民使用核平地圖nukemap估算爆裂魔法的規模。
[2]中二病簡單說,就是指人類在中學二年級左右容易得到的一種稱為小屁孩的疾病(誤)
[3]電視節目留言終結者的問題名言。
[4]超音速的衝擊波造成空氣被壓縮,使得水氣凝結成白色雲霧。
[5]從下圖中可以看出,河川的寬度約是人身高度的18倍。以人身高170公分來算,河流寬度約30公尺。

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